Lógica matemática
Nun eisiste ua defeniçon sata para lógica, mas alguns matemáticos la definen cumo “l studo de ls porcessos bálidos qu'atinge la berdade”, ó simplesmente “la ciéncia de las leis de l pensamiento”.
Stória
eiditarLs studos subre l pensar fúrun einicialmente zambolbidos por filósofos cumo Parménides i Platon, mas fui Aristóteles quien l'eilaborou mais detalhadamente i defeniu la lógica cumo se studa hoije an die (cumo se studaba até l seclo XIX).
Para amostrar que ls sofistas (mestres de la retórica i de la ouratória) podien anganhar ls cidadanos outelizando argumientos ancorretos, Aristóteles studou l'estrutura lógica de la argumentaçon. Rebelando, assi, qu'alguns argumientos puoden ser cumbincentes, ambora nun séian corretos. La lógica, segundo Aristóteles, ye un strumiento para atingir l coincimiento científico, baseando-se ne l silogismo.
Seguidores de Aristóteles reuniran sous percípios subre lógica nun libro antitulado “Organun”, que senefica “Strumiento de la Ciéncia”.
Lógica Proposicional
eiditarProposiçones
eiditarLas proposiçones son detreminadas por sentenças declaratibas pertencentes a un cierta lenguaige que forman un cunjunto de palabras ó simblos i spressan ua eideia. Las sentenças declaratibas, son afirmaçones que puoden recebir balores lógicos, Verdadeiro ó Falso solo, i qu'un cunjunto de palabras resultan nun pensamiento cumpleto. Las proposiçones dében seguir ls seguintes percípios:
- Percípio de l'eidantidade: garante qu'ua proposiçon ye eigual la si mesma.
- Percípio de la nó-cuntradiçon: ua proposiçon nun puode ser berdadeira i falsa.
- Percípio de l terceiro scluído: ua proposiçon ó ye berdadeira ó ye falsa.
Eisemplos:
L cachorro ye un animal. - Berdadeiro
2 + 2 = 7 - Falso
Sentenças anterrogatibas, sclamatibas i amperatibas nun son proposiçones, pus nun ye possible dezir se son berdadeiras ó falsas.
Eisemplos:
- Hoije stá chobendo muito!
- Cumo fui l'aula?
- Limpe la cozina.
- Esta sentença nun ye berdadeira.
Proposiçones cumpuostas
eiditarProposiçon cumpuosta ye l'ounion de proposiçones simples por meio dun conetor lógico. Este conetor eirá ser decesibo pa l balor lógico de la spresson.
Precedéncia d'ouperadores
eiditarAn spressones qu'outelizan bários ouperadores nun ye possible saber qual proposiçon debe-se resulber purmeiro.
Eisemplo: P Λ Q B R.
Cun esso, ousar parénteses ye fundamental. La spresson de l'eisemplo poderie quedar assi: (P Λ Q) B R ó P Λ (Q B R).
L'orde de la precedéncia d'ouperadores ye:
- (),, {}
- ¬
- B, Λ, B
- →
- ↔
Tabela Berdade
eiditarLa tabela berdade ye custruída para detreminar l balor lógico dua proposiçon cumpuosta. Segue ua eicelente stratégia pa la custruçon de la mesma.
Eisemplo de custruçon de la tabela berdade de la proposiçon cumpuosta: p Λ q
Purmeiramente berifica-se quantas “bariables”, ó proposiçones simples que tenemos na proposiçon cumpuosta de l'eisercício. Neste causo eisisten dues: p i q.
An seguida eilebamos 2 al númaro de bariables, ó seia, 2². Nuossa base de l spoente ye 2 pul fato de tenr-se solo 2 balores lógicos possibles nas proposiçones (Berdadeiro ó Falso). L resultado de 2² ye 4. Anton nuossa tabela terá 4 linhas, nessas linhas staran todos ls balores lógicos possibles de la nuossa proposiçon cumpuosta.
p |
q |
p Λ q
|
|---|---|---|
| - | - | -
|
| - | - | -
|
| - | - | -
|
| - | - | -
|
Esta ye la strutura de la tabela, agora pa a prencher culs debidos balores lógicos outeliza-se la seguinte técnica: até la metade de la purmeira coluna coloca-se Berdadeiro, na outra metade Falso. Yá na segunda coluna, antercala-se B i F. Desta forma adquira-se la seguinte tabela:
| p | q | p Λ q
|
|---|---|---|
| B | B | Resultado
|
| B | F | Resultado
|
| F | B | Resultado
|
| F | F | Resultado
|
Esta ye ua de las melhores stratégias pa la montaige dua tabela berdade.
Proposiçones puoden ser ligadas antre si por meio de conetibos lógicos. Conetores que crian nuobas sentenças mudando ó nun sou balor lógico (Berdadeiro ó Falso). Eisemplos de ls percipales conetores lógicos:
- “¬” ó “~” (negaçon);
- “Λ” (conetibo “i”);
- “B” (conetibo “ó”);
- “→” (conetibo “se, anton”);
- “↔” (conetibo “se, i solamente se”);
- “B” (conetibo “ó sclusibo”);
- “↓” (conetibo “negaçon cunjunta”);
- “↑” (conetibo “negaçon çjunta”).
Eisemplos de sentenças formadas cun conetores i proposiçones:
(2 + 2 = 4) B (1 < 4) - Balor lógico de la sentença: Berdadeiro B (ó) Berdadeiro = Berdadeiro
Cachorro ye un felino Λ (1 > 0) - Balor lógico de la sentença: Falso Λ (i) Berdadeiro = Falso
Conetor de Negaçon (~)
eiditarL conetibo de negaçon (~), nega l balor lógico dua proposiçon. Cunsidra-se p cumo ua proposiçon de balor lógico eigual a berdadeiro, anton sue negaçon ye eigual a falso. L mesmo serie se la proposiçon tubisse balor lógico enicial eigual a falso, sue negaçon serie eigual a berdadeiro. D'acuordo cun esses cunceitos podemos montar la seguinte tabela berdade:
| p | ~p |
|---|---|
| B | F
|
| F | B
|
Eisemplo:
Cunsidre p cul balor de la seguinte proposiçon: 2 ye un númaro par. p = Berdadeiro, antoce sue negaçon: ~p = Falso.
Conetor i (Λ)
eiditarL conetibo i, tamien coincido cumo AND i repersentado pul simblo “^” junta proposiçones las quales solamente resultaran an Berdadeiro se todos ls balores fúren Berdadeiros.
Eisemplo: Cunsidre las proposiçones p i q (Cunjunçon).
| p | q | p Λ q |
|---|---|---|
| B | B | B
|
| B | F | F
|
| F | B | F
|
| F | F | F
|
Ouserbaçon: Beija que nesta tabela cunsidramos todos ls balores lógicos possibles para p i q, an outras palabras: tenemos 2 proposiçones i stamos nua base binária (0 ó 1, berdadeiro ó falso) anton para se saber l númaro de las possibelidades para essas proposiçones rializa-se l seguinte cálclo 2m, adonde m ye l númaro de proposiçones.
Conetor ó (B)
eiditarL conetibo ó, tamien coincido cumo OR i repersentado pul simblo “B” une proposiçones que, solo ua sendo Berdadeiro ye suficiente que la spresson anteira tamien seia.
Eisemplo:
Cunsidre las proposiçones p i q (Çjunçon).
| p | q | p B q |
|---|---|---|
| B | B | B
|
| B | F | B
|
| F | B | B
|
| F | F | F
|
Conetor cundicional (→)
eiditarL conetibo cundicional, tamien coincido cumo amplica i repersentado pul simblo “→” une proposiçones criando ua strutura cundicional adonde solo ua de las possibelidades resulta an F l balor lógico de la spresson.
Eisemplo:
Cunsidre las proposiçones p i q (Cundiçon). “Se p anton q”
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| B | B | B
|
| B | F | F
|
| F | B | B
|
| F | F | B
|
Conetor bi-cundicional (↔)
eiditarL conetibo bi-cundicional, ye lido cumo “se, i solamente se” i ye repersentado pul simblo “↔”, el une proposiçones adonde l resultado lógico de la spresson ye berdadeiro solo se ls balores lógicos fúren eiguales.
Eisemplo:
Cunsidre las proposiçones p i q (Bi-cundicional). “Se p, i solamente se q”
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| B | B | B
|
| B | F | F
|
| F | B | F
|
| F | F | B
|
Ó sclusibo (B)
eiditarL conetibo ó sclusibo, chamado tamien de çjunçon sclusiba, ye repersentado pul simblo “B”. Podemos dezir qu'el senefica: un ó outro, mas nun ambos. Eisemplo: Ó l gato ye macho ó l gato ye fémea, mas nun ambos. La tabela berdade de l ó sclusibo esta repersentada ambaixo.
| p | q | p B q |
|---|---|---|
| B | B | F
|
| B | F | B
|
| F | B | B
|
| F | F | F
|
Negaçon Cunjunta i Negaçon Çjunta
eiditarLa negaçon cunjunta ye repersentada pul conetor ↑, senefica la negaçon de dues proposiçones ambolbendo l conetor AND (NAND).
Eisemplo: p Λ q ⇔ ¬p ↑ ¬q.
La negaçon çjunta ye repersentada pul conetor ↓, senefica la negaçon de dues proposiçones ambolbendo l conetor OR (NOR).
Eisemplo: p b q ⇔ ¬p ↓ ¬q.
Ambaixo stan repersentadas las tabelas berdades de las dues negaçones.
- Tabela Berdade eiquibalente al circuito NAND
| p | q | p ↑ q |
|---|---|---|
| B | B | F
|
| B | F | B
|
| F | B | B
|
| F | F | B
|
- Tabela Berdade eiquibalente al circuito NOR
| p | q | p ↓ q |
|---|---|---|
| B | B | F
|
| B | F | F
|
| F | B | F
|
| F | F | B
|
Tautologie, Cuntradiçon i Cuntingéncia
eiditarAl montarmos ua tabela berdade cuntendo todos ls balores lógicos possibles dua spresson a poderiemos classeficar an tautologie, cuntradiçon i cuntingéncia.
- Tautologie: ye ua proposiçon cujo resultado final ye siempre berdadeiro.
Eisemplo:
p b ~p (p OU nun p)
| p | ~p | p B ~p |
|---|---|---|
| B | F | B
|
| F | B | B
|
Beija qu'andependiente de l balor de p la spresson siempre resulta an Berdadeiro, pus pa l conetor OU tenr un berdadeiro yá ye suficiente para resultar an Berdadeiro, para alhá desso siempre teremos B an todas las cumbinaçones de la spresson. Por esso a classeficamos cumo ua tautogie.
Beijamos outro eisemplo:
F → p (F anton p)
| Balor lógico custante | p | F → p |
|---|---|---|
F |
F | B
|
F |
B | B
|
Nestre outro causo tamien se oubtebe ua tautologie, debido al fato de la radadeira coluna de la tabela (resultado de la spresson) tener solamente Berdadeiro.
- Cuntradiçon: ye ua proposiçon que resulta solamente an falso, an outras palabras, la radadeira coluna de la sue tabela solo ten l balor lógico falso.
Eisemplo:
p ^ ~p
| p | ~p | p ^ ~p |
|---|---|---|
| B | F |
F
|
| F | B |
F
|
- Cuntingéncia: detreminamos ua proposiçon de cuntingente quando eilha nun ye tautológica nin cuntraditória, ó seia, eilha ye andeterminada.
Eisemplo:
p B q (p OU q)
| p | q | p B q |
|---|---|---|
| B | B | B
|
| B | F | B
|
| F | B | B
|
| F | F | F
|
Percebe-se que la radadeira coluna nun ten solo un balor lógico, por esso a detreminamos ua proposiçon cuntingente, ó andeterminada.
Amplicaçon lógica ó Anferéncia
eiditarSéian P i Q dues proposiçones. Deziremos que P amplica logicamente la proposiçon Q, se Q fur berdadeiro siempre que P fur berdadeiro. Quando esso ocorre, dezimos que tenemos ua amplicaçon lógica ó anferéncia i denotamos: P => Q (lemos: “P amplica Q”).
Eisemplo: P Λ Q amplica P B Q?
| p | q | p Λ q | p B q |
|---|---|---|---|
| B | B | B |
B
|
| B | F | F |
B
|
| F | B | F |
B
|
| F | F | F |
F
|
Neste eisemplo podemos dezir que P Λ Q => P B Q, pus adonde P Λ Q ye berdadeiro P B Q tamien ye.
Eisemplo: P B Q amplica P → Q?
| p | q | p B q | p → q |
|---|---|---|---|
| B | B | B |
B
|
| B | F | B |
F
|
| F | B | B |
B
|
| F | F | F |
B
|
Neste eisemplo nun podemos dezir que P B Q => P → Q, pus tenemos na segunda linha qu'adonde P B Q ye berdadeiro P → Q ye falso.
Eiquibaléncia lógica
eiditarDeziremos que P ye eiquibalente la Q, se las dues tabelas berdade fúrun idénticas. Quando esso ocorre, dezimos que tenemos ua eiquibaléncia lógica ó bi-amplicaçon i denotamos P ⇔ Q (lemos: “P ye eiquibalente la Q”).
Eisemplo: ¬(P Λ Q) ye eiquibalente la (¬P B ¬Q)?
| P | Q | ¬P | ¬Q | P Λ Q | ¬(P Λ Q) | ¬P B ¬Q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | F |
F |
B |
F |
F
|
| B | F | F |
B |
F |
B |
B
|
| F | B | B |
F |
F |
B |
B
|
| F | F | B |
B |
F |
B |
B
|
Neste eisemplo podemos dezirmos que ¬(P Λ Q) ⇔ (¬P B ¬Q), pus l resultado de la tabela berdade de las dues spressones ye l mesmo.
Eisemplo: P → Q ye eiquibalente la Q → P?
| P | Q | P → Q | Q → P |
|---|---|---|---|
| B | B | B |
B
|
| B | F | F |
B
|
| F | B | B |
F
|
| F | F | B |
B
|
Neste eisemplo nun podemos dezir que P → Q ⇔ Q → P, pus l resultado de las tabelas berdades de las spressones son defrentes, nas linhas 2 i 3.
Cundiçones neçairas i suficientes
eiditarTenemos ua cundiçon suficiente se quando eilha ocorrer tenemos la garantie de que l'outra cundiçon ocorrerá. Por eisemplo:
“Se l cabalho corre anton el stá bibo.”
L cabalo correr ye cundiçon suficiente para el star bibo,ó seia, se l cabalo corre podemos garantir qu'el stá bibo.
Por outro lado l cabalo star bibo nun garante que l cabalo corra, pus el puode star por eisemplo bibo mas çcansando, l'este tipo de cundiçon dá se l nome de cundiçon neçaira. Ua cundiçon ye neçaira quanto nun podemos garantir que l'outra cundiçon ye balida.
Esta relaçon antre cundiçon suficiente i cundiçon neçaira ye ancontrada quando outelizamos un conetor cundicional, ó seia, quando tenemos ua strutura cundicional. L purmeiro argumiento(que ben antes de l →), chamado d'antecedente ye ua cundiçon suficiente. L segundo argumiento,chamado de cunsequente ye ua cundiçon neçaira.
Antretanto nua strutura bi-cundicional tenemos ua proposiçon neçaira i suficiente.
Proposiçones Associadas a ua Cundicional
eiditarPegamos ua cundicional qualquiera cumo p → q, eisisten trés tipos de proposiçones associadas a eilha que son:
- Recíproca: la proposiçon recíproca de p → q ye la proposiçon q → p.Cumo podemos ber fui feito ua troca antre l'antecedente (p) i la cunsequente (q) para oubter-se la recíproca cuja tabela esta ambaixo:
| p | q | p → q | q → p |
|---|---|---|---|
| B | B | B |
B
|
| B | F | F |
B
|
| F | B | B |
F
|
| F | F | B |
B
|
Eisemplo: “Se la Marie ye feia anton todos son feios.”
La recíproca serie: “Se todos son feios anton Marie ye feia.”
- Cuntrária: la proposiçon cuntrária de p → q ye la proposiçon ~p → ~q.Basta negar l'antecedente(p) i la cunsequente(q) para oubtermos la proposiçon cuntrária.
| p | q | ~p | ~q | p → q | ~p → ~q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | F |
F |
B |
B
|
| B | F | F |
B |
F |
B
|
| F | B | B |
F |
B |
F
|
| F | F | B |
B |
B |
B
|
Eisemplo: “Se la Marie ye feia anton todos son feios.”
La cuntrária serie: “Se Marie nun ye feia anton todos nó son feios.”
- Cuntra Positiba: la contra positiba de la preposiçon p → q ye ~q → ~p. Para ancontramos la contra positiba basta juntar ls passos de la recíproca i de la cuntrária,ó seia, debe se ambertir ls lugares de l'antecedente i de l cunsequente i negar ambos. La proposiçon contra positiba ten l mesmo resultado que la proposiçon ouriginal.
| p | q | ~p | ~q | p → q | ~q → ~p |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | F |
F |
B |
B
|
| B | F | F |
B |
F |
F
|
| F | B | B |
F |
B |
B
|
| F | F | B |
B |
B |
B
|
Eisemplo: “Se la Marie ye feia anton todos son feios.”
La contra positiba serie: “Se todos nun son feios anton Marie nó ye feia.”
Refréncias
eiditarCarlos Fuontes. Defeniçon i Eiboluçon de la Lógica; 28/04/2012.
Çponíbel an: http://afilosofia.ne[lhigaçon einatiba] l.sapo .pt/pag2Def.htn
Grupo iPED. Noçones de lógica.Coleijo web; 07/05/2012.
Çponíbel an: http://www.colegioweb[lhigaçon einatiba] .com.br/matematica/conetibos-logicos-.html
GERÓNIMO, João Roberto; FRANCO Baldeni Soliane. Fundamientos de matemática: ua antroduçon a la lógica matemática, teorie de ls cunjuntos, relaçones i funçones. 2º Eidiçon 2008.
