Info talk.png

Na matemática, na lógica i na ciéncia de la cumputaçon, las álgebras boleanasálgebras de Boole) son struturas algébricas que "catan las propiadades eissenciales" de ls ouperadores lógicos i de cunjuntos.

StóriaEditar

Recebiu l nome de boleana an houmenaige la George Boole, matemático anglés, que fui l purmeiro la defeni-las cumo parte dun sistema de lógica an meados de l seclo XIX. Mais specificamente, la álgebra boleana fui ua tentatiba d'outelizar técnicas algébricas para lidar cun spressones ne l cálclo proposicional. Hoije, las álgebras boleanas ténen muitas aplicaçones na eiletrónica. Fúrun pula purmeira beç aplicadas a anterrutores por Claude Shannon, ne l seclo XX.

DefeniçonEditar

Ua álgebra boleana ye ua 6-upla   cunsistindo dun cunjunto   munido de dues ouparaçones binárias   (tamien denotado por  , ye giralmente chamado de "ó") i   (tamien denotado por   ó por  , ye giralmente chamado de "i"), ua ouparaçon unária   (tamien denotada por   ó por ua barra superior, ye giralmente chamado de "nó"), i dues custantes   (tamien denotada por   ó por  , giralmente chamado de "zero" ó de "falso") i   (tamien denotada por   ó por  , giralmente chamado de "un" ó de "berdadeiro"), i sastifazendo ls seguintes axiomas, para qualesquiera  :

Propiadades Associatibas

  •  
  •  

Propiadades Quemutatibas

  •  
  •  

Propiadades Çtributibas

  •  
  •  

Eilemientos Neutros

  •  
  •  

Eilemientos Cumplementares

  •  
  •  

Alguns outores tamien ancluen la propiadade  , para eibitar la álgebra boleana cun solamente un eilemiento.

EisemplosEditar

  • L'eisemplo mais simples de álgebra boleana cun mais dun eilemiento ye l cunjunto   munido de las seguintes ouparaçones:
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                   
  • Un outro eisemplo de álgebra boleana ye l cunjunto   (l'eilemiento   ye giralmente chamado de "çconhecido" ó de "talbeç") munido de las seguintes ouparaçones:
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                                       
                             
  • Dado un cunjunto  , l cunjunto   de las partes de   munido de las ouparaçones  ,  ,  , i adonde   i  , ye ua álgebra boleana.
  • L anterbalo   munido de las ouparaçones  ,  , i  , ye ua álgebra boleana. Essa álgebra boleana recibe l nome de lógica fuzzy.

TeoremasEditar

Dado ua álgebra boleana subre  , son bálidos para qualesquiera  :

Propiadades Eidempotentes

  •  
  •  

Dupla Negaçon

  •  

Leis de De Morgan

  •  
  •  

Propiadades Absorbentes

  •  
  •  

Eilemientos Absorbentes

  •  
  •  

Negaçones de l Zero i de l Un

  •  
  •  

Defeniçones altarnatibas de l'ouparaçon binária   (tamien denotado por  , ye giralmente chamado de "xou" ó de "ó sclusibo")

  •  

OrdeEditar

Dado ua álgebra boleana subre  , ye bálido para qualesquiera  :

  •   se i solamente se  

La relaçon   defenida cumo   se i solamente se ua de las dues cundiçones eiquibalentes arriba ye sastifeita ye ua relaçon d'orde an  . L supremo i l ínfimo de l cunjunto   son   i  , respetibamente.


Homomorfismos i eisomorfismosEditar

Un homomorfismo antre dues álgebras boleanas   i   ye ua funçon   que para qualesquiera  :

  •  
  •  
  •  
  •  

Ua cunsequéncia ye que  .

Un eisomorfismo antre dues álgebras boleanas   i   ye un homomorfismo bijetor antre   i  . L amberso dun eisomorfismo ye un eisomorfismo. Se eisiste un eisomorfismo antre   i  , dezimos que   i   son eisomorfos.


Ber tamienEditar

  Este sobre Lógica ye un rabisco. Tu puodes ajudar la Biquipédia spandindo-lo.