Álgebra de Boole

Na matemática, na lógica i na ciéncia de la cumputaçon, las álgebras boleanas (ó álgebras de Boole) son struturas algébricas que "catan las propiadades eissenciales" de ls ouperadores lógicos i de cunjuntos.

Stória

Recebiu l nome de boleana an houmenaige la George Boole, matemático anglés, que fui l purmeiro la defeni-las cumo parte dun sistema de lógica an meados de l seclo XIX. Mais specificamente, la álgebra boleana fui ua tentatiba d'outelizar técnicas algébricas para lidar cun spressones ne l cálclo proposicional. Hoije, las álgebras boleanas ténen muitas aplicaçones na eiletrónica. Fúrun pula purmeira beç aplicadas a anterrutores por Claude Shannon, ne l seclo XX.

Defeniçon

Ua álgebra boleana ye ua 6-upla $(X,\vee ,\wedge ,\neg ,0,1)$ cunsistindo dun cunjunto $X$ munido de dues ouparaçones binárias $\vee$ (tamien denotado por $+$ , ye giralmente chamado de "ó") i $\wedge$ (tamien denotado por $\ast$ ó por $\cdot$ , ye giralmente chamado de "i"), ua ouparaçon unária $\neg$ (tamien denotada por $\sim$ ó por ua barra superior, ye giralmente chamado de "nó"), i dues custantes $0$ (tamien denotada por $\bot$ ó por $F$ , giralmente chamado de "zero" ó de "falso") i $1$ (tamien denotada por $\top$ ó por $V$ , giralmente chamado de "un" ó de "berdadeiro"), i sastifazendo ls seguintes axiomas, para qualesquiera $la,b,c\in X$ :

Propiadades Associatibas

$(la\vee b)\vee c=la\vee (b\vee c)$
$(la\wedge b)\wedge c=la\wedge (b\wedge c)$

Propiadades Quemutatibas

$la\vee b=b\vee la$
$la\wedge b=b\wedge la$

Propiadades Çtributibas

$la\vee (b\wedge c)=(la\vee b)\wedge (la\vee c)$
$la\wedge (b\vee c)=(la\wedge b)\vee (la\wedge c)$

Eilemientos Neutros

$la\vee 0=la$
$la\wedge 1=la$

Eilemientos Cumplementares

$la\vee \neg la=1$
$la\wedge \neg la=0$

Alguns outores tamien ancluen la propiadade $0\neq 1$ , para eibitar la álgebra boleana cun solamente un eilemiento.

Eisemplos

L'eisemplo mais simples de álgebra boleana cun mais dun eilemiento ye l cunjunto $\{0,1\}$ munido de las seguintes ouparaçones:

$\vee$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

$\wedge$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$

$\neg$	$0$	$1$
	$1$	$0$

Un outro eisemplo de álgebra boleana ye l cunjunto $\{0,1,?\}$ (l'eilemiento $?$ ye giralmente chamado de "çconhecido" ó de "talbeç") munido de las seguintes ouparaçones:

$\vee$	$0$	$1$	$?$
$0$	$0$	$1$	$?$
$1$	$1$	$1$	$1$
$?$	$?$	$1$	$?$

$\wedge$	$0$	$1$	$?$
$0$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$?$
$?$	$0$	$?$	$?$

$\neg$	$0$	$1$	$?$
	$1$	$0$	$?$

Dado un cunjunto $La$ , l cunjunto $P(La)$ de las partes de $La$ munido de las ouparaçones $la\vee b=la\cup b$ , $la\wedge b=la\cap b$ , $\neg la=La\setminus la$ , i adonde $0=\varnothing$ i $1=La$ , ye ua álgebra boleana.

L anterbalo $[0,1]$ munido de las ouparaçones $la\vee b=\mathrm {max} \{la,b\}$ , $la\wedge b=\mathrm {min} \{la,b\}$ , i $\neg la=1-la$ , ye ua álgebra boleana. Essa álgebra boleana recibe l nome de lógica fuzzy.

Teoremas

Dado ua álgebra boleana subre $X$ , son bálidos para qualesquiera $la,b\in X$ :

Propiadades Eidempotentes

$la\vee la=la$
$la\wedge la=la$

Dupla Negaçon

$\neg (\neg la)=la$

Leis de De Morgan

$\neg (la\vee b)=\neg la\wedge \neg b$
$\neg (la\wedge b)=\neg la\vee \neg b$

Propiadades Absorbentes

$la\vee (la\wedge b)=la$
$la\wedge (la\vee b)=la$

Eilemientos Absorbentes

$la\vee 1=1$
$la\wedge 0=0$

Negaçones de l Zero i de l Un

$\neg 0=1$
$\neg 1=0$

Defeniçones altarnatibas de l'ouparaçon binária $\veebar$ (tamien denotado por $\oplus$ , ye giralmente chamado de "xou" ó de "ó sclusibo")

$(a\vee b)\wedge (\neg a\vee \neg b)=(a\wedge \neg b)\vee (\neg a\wedge b)$

Orde

Dado ua álgebra boleana subre $X$ , ye bálido para qualesquiera $la,b\in X$ :

$la\vee b=b$ se i solamente se $la\wedge b=la$

La relaçon $\leq$ defenida cumo $la\leq b$ se i solamente se ua de las dues cundiçones eiquibalentes arriba ye sastifeita ye ua relaçon d'orde an $X$ . L supremo i l ínfimo de l cunjunto $\{la,b\}$ son $la\vee b$ i $la\wedge b$ , respetibamente.

Homomorfismos i eisomorfismos

Un homomorfismo antre dues álgebras boleanas $La$ i $B$ ye ua funçon $f:La\to B$ que para qualesquiera $la,b\in La$ :

$f(la\vee b)=f(la)\vee f(b)$
$f(la\wedge b)=f(la)\wedge f(b)$
$f(0)=0$
$f(1)=1$

Ua cunsequéncia ye que $f(\neg la)=\neg f(la)$ .

Un eisomorfismo antre dues álgebras boleanas $La$ i $B$ ye un homomorfismo bijetor antre $La$ i $B$ . L amberso dun eisomorfismo ye un eisomorfismo. Se eisiste un eisomorfismo antre $La$ i $B$ , dezimos que $La$ i $B$ son eisomorfos.

Ber tamien

Este sobre Lógica ye un rabisco. Tu puodes ajudar la Biquipédia spandindo-lo.